Question

已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=

4

3n

．
（I）求{a_n}的通项公式；
（II）证明：

n

k=1

(ak-ak+1)(sinak-sinak+1)＜

1

2

．．

Answer 1

分析：（I）根据{an}满足a1=1，an+an+1=

4

3n

，可构造新数列{an-

1

3n

}，为等比数列，求出新数列的通项公式，再根据新数列的通项公式，就可求出{a_n}的通项公式．
（II）利用放缩法证明，先求当k由1到n时，（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）的每一项的范围，可构造函数f（x）=x-sinx，x∈（0，1]，利用导数判断函数的单调性，得到a_k-sina_k＞a_k+1-sina_k+1，∴0＜sina_k-sina_k+1＜a_k-a_k+1，再根据又a_k-a_k+1＞0，得到，（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）＜（a_k-a_k+1）²=

4

9k

，最后就可得出结论．

解答：解：（I）∵a_n+a_n+1=

4

3n

，∴a_n+1-

1

3n

=-(an-

1

3n-1

），
∴a_n-

1

3n-1

=(a1-

1

31-1

)(-1)n-1=0，an=

1

3n-1

．
（II）设f（x）=x-sinx，x∈（0，1]，

当x∈(0，1)时，f′(x)=1-cosx＞0，f(x)在(0，1

]单调递增．∵1＞a_k＞a_k+1＞0，
∴f（a_k）＞f（a_k+1），即a_k-sina_k＞a_k+1-sina_k+1，
∴0＜sina_k-sina_k+1＜a_k-a_k+1，
又a_k-a_k+1＞0，∴（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）＜（a_k-a_k+1）²=

4

9k

，

k=1

ⁿ（a_k-a_k+1）（sina_k-sina_k+1）＜

n

k=1

4

9k

=

4 9 [1-( 1 9 )n]

1- 1 9

＜

4 9

1- 1 9

=

1

2

．

点评：本题考查了数列和函数的综合，综合性强，做题时应认真分析，找到两者之间的联系．