Question

已知数列{a_n}的通项a_n=naⁿ（0＜a＜1）且a_n＞a_n+1对所有正整数n均成立，则a的取值范围是（　　）

• A、（

  1

  2

  ，1）
• B、（

  2

  3

  ，1）
• C、（

  1

  2

  ，

  2

  3

  ）
• D、（0，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：由已知中数列{a_n}的通项a_n=naⁿ（0＜a＜1）且a_n＞a_n+1对所有正整数n均成立，我们易得到a＜

n

n+1

对所有正整数n均成立，由于 n=1时，

n

n+1

取最小值

1

2

，结合0＜a＜1，即可得到答案．

解答：解：∵a_n＞a_n+1对所有正整数n均成立，
即（n+1）•aⁿ⁺¹-n•aⁿ＜0
即（a•n+a-n）•aⁿ＜0
∵aⁿ＞0恒成立
∴n•a+a-n＜0
∴a＜

n

n+1

=1-

1

n+1

≥

1

2

又∵0＜a＜1
∴0＜a＜

1

2

故选D

点评：本题考查的知识点是数列的函数特性，其中根据已知条件，将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键．