Question

数列{a_n}中an+1+an=3n-54(n∈N*)．
（1）若a₁=-20，求数列的通项公式；
（2）设S_n为{a_n}的前n项和，证明：当a₁＞-27时，有相同的n，使S_n与|a_n+1+a_n|都取最小值．

Answer 1

分析：（1）利用题设递推式表示出a_n+2+a_n+1，两式相减求得a_n+2-a_n为常数，进而判断出a₁，a₃，a₅，与a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差数列，分别看n为奇数和偶数时利用叠加法和等差数列求和公式求得答案．
（2）分别看n为奇数和偶数时表示出S_n，利用二次函数的性质分别求得其最小值，最后综合可得答案．

解答：解：（1）∵an+1+an=3n-54(n∈N*)，
∴a_n+2+a_n+1=3n-51
∴两式相减得a_n+2-a_n=3，
∴a₁，a₃，a₅，与a₂，a₄，a₆，都是d=3的等差数列
∵a₁=-20，∴a₂=-31，
①当n为奇数时，a_n=

3n-43

2

；②当n为偶数时，a_n=

3n-68

2

∴a_n=

3n-43 2 ，n为奇数 3n-68 2 ，n为偶数

；
（2）n=18时，|a_n+1+a_n|有最小值0；
①当n为偶数时，S_n=（a₁+a₂）+（a₃+a₄）+…+（a_n-1+a_n）
=（3×1-54）+（3×3-54）+…+[3（n-1）-54]=3[1+3+5+…+（n-1）]-

n

2

×54=

3

4

n²-27n=

3

4

（n-18）²-243，
∴当n=18时，（S_n）_min=-243；
②当n为奇数时，S_n=a₁+（a₂+a₃）+…+（a_n-1+a_n）=

3

4

n²-27n+

105

4

+a₁=

3

4

（n-18）²-216

3

4

+a₁，
∴当n=17或19时（S_n）_min=a₁-216＞-243；
综上，当n=18时（S_n）_min=-243．
∴当a₁＞-27时，有相同的n，使S_n与|a_n+1+a_n|都取最小值．

点评：本题考查数列的求和问题，求数列的通项公式，以及数列与函数思想的综合，考查学生分析解决问题的能力，考查分类讨论是数学思想，属于中档题．