Question

已知函数f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x），g（x）=

1

2

sin2x-

1

4

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求函数h（x）=f（x）-g（x）的最大值，并求使h（x）取得最大值的x的集合．

Answer 1

（1）f（x）=cos（

π

3

+x）cos（

π

3

-x）=（

1

2

cosx-

3

2

sinx）（

1

2

cosx+

3

2

sinx）=

1

4

cos²x-

3

4

sin2 x=

1+cos2x

8

-

3-3cos2x

8

=

1

2

cos2x-

1

4

，
∴f（x）的最小正周期为

2π

2

=π
（2）h（x）=f（x）-g（x）=

1

2

cos2x-

1

2

sin2x=

2

2

（

2

2

cos2x-

2

2

sin2x）=

2

2

（cos

π

4

cox2x-sin

π

4

sin2x）=

2

2

cos（2x+

π

4

）
∴当2x+

π

4

=2kπ，k∈Z，即x=kπ-

π

8

，k∈Z时，h（x）取得最大值

2

2

，且此时x取值集合为{x|x=kπ-

π

8

，k∈Z}