Question

如图，在各棱长均为2的三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，侧面A₁ACC₁上底面ABC，∠A₁AC=60°．

(1)求侧棱AA₁与平面AB₁C所成角的大小；

(2)已知点D满足，在直线AA₁上是否存在点P，使DP∥平面AB₁C?若存在，请确定点P的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：∵侧面A₁ACC₁⊥底面ABC，作A₁O上AC于点O，

    ∴A₁O⊥平面ABC．

    又∠ABC=∠A₁AC=60°，且各棱长都相等，

    ∴AO=1，OA₁=OB=，BO⊥AC．

故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O一，

则A(0，一1，0)，B(，0，0)，A₁(0，0，)，C(0，1，0)， =(0，1，)．

∴,．

设平面AB₁C的法向量为

则

解得n=(一1，0，1)．

由．

而侧棱AA₁与平面AB₁C所成角，即是向量与平面AB₁C的法向量所成锐角的余角，

∴侧棱AA₁与平面AB₁C所成的角为．

(2)∵，

而，．

∴．

又∵B(，0，0)，∴点D的坐标为D(一，0，0)．

假设存在点P符合题意，则点P的坐标可设为P(0，，)．

∴

∴DP//平面AB₁C，n=(一1，0，1)为平面AB₁C的法向量，

∴由，得，∴．

    又DP平面AB₁C，

    故存在点P，使DP//平面AB₁C，其坐标为(0，0，)，即恰好为A₁点．