Question

已知数列{a_n}中，，若以a₁，a₂，…，a_n为系数的二次方程a_n-1x²-a_nx+1=0（n∈N⁺，n≥2）都有根α，β且3α-αβ+3β=1，则{a_n}的前n项和S_n=________．

Answer 1

分析：根据韦达定理分别求得α+β和αβ代入3α-αβ+3β=1，进而求得a_n=a_n-1+，从而可推知 为定值，由此得数列{a_n-}为等比数列，根据等比数列的通项公式进而可得a_n，再根据等比数列的求和公式，求得S_n．
解答：由题意，∵α+β=，αβ=代入3α-αβ+3β=1得a_n=a_n-1+，
∴==为定值．
∴数列{a_n-}是等比数列．
∵a₁-=-=，
∴a_n-=×（ ）^n-1=（ ）ⁿ．
∴a_n=（ ）ⁿ+．
∴S_n=（ +++）+=+=-．
故答案为：
点评：本题以方程的根与系数为载体，考查了等比数列的性质，考查构造法的运用，属基础题．