Question

已知数列{a_n}满足：a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

（n∈N⁺）
（Ⅰ）计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想{a_n}的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．

Answer 1

分析：（Ⅰ）a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

，通过n=1，2，3，直接计算a₂，a₃，a₄的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的结果猜想{a_n}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．

解答：解：（Ⅰ） 由a₁=0，a_n+1=

1+an

3-an

，
当n=1时，a₂=

1

3

，
当n=2时，a₃=

1+ 1 3

3- 1 3

=

1

2

，
当n=3时，a₃=

1+ 1 2

3- 1 2

=

3

5

，
（Ⅱ）由以上结果猜测：an=

n-1

n+1

（6分）
用数学归纳法证明如下：
（1）当n=1时，左边=a₁=0，右边═0，等式成立．（8分）
（2）假设当n=k（k≥1）时，命题成立，即ak=

k-1

k+1

成立．
那么，当n=k+1时，ak+1=

1+ak

3-ak

=

1+ k-1 k+1

3- k-1 k+1

=

k+1+k-1

3k+3-k+1

=

2k

2k+4

=

k

k+2

=

(k+1)-1

(k+1)+1

这就是说，当n=k+1时等式成立．
由（1）和（2），可知猜测an=对于任意正整数n都成立．

点评：本题考查数列的通项，考查归纳猜想，考查数学归纳法的运用，属于中档题．