Question

已知数列{a_n}满足：a_n+1=2a_n+n-1（n∈N^*），a₁=1；
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=na_n，求S_n=b₁+b₂+…+b_n．

Answer 1

分析：（1）通过数列的递推关系式，构造新数列为等比数列，然后求出通项公式．
（2）利用（1）推出b_n，利用错位相减法求出n2ⁿ的前n项和，然后求出S_n=b₁+b₂+…+b_n．

解答：解：（1）因为a_n+1=2a_n+n-1（n∈N^*），所以a_n+1+（n+1）=2（a_n+n）（n∈N^*），
所以数列{a_n+n}是以a₁+1为首项，2为公比的等比数列，
所以a_n+n=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-n．
（2）b_n=na_n=n2ⁿ-n²，设C_n=n2ⁿ，它的前n项和为T_n，
则T_n=1×2+2×2²+3×2³+…+n×2ⁿ，…①
2T_n=1×2²+2×2³+3×2⁴+…+n×2ⁿ⁺¹…②
②-①得，T_n=-2-（2²+2³+…+2ⁿ）+n×2ⁿ⁺¹=（n-1）2ⁿ⁺¹+2
所以S_n=b₁+b₂+…+b_n=（n-1）2ⁿ⁺¹+2-

1

6

n(n+1) (2n+1)．

点评：本题是中档题，考查递推关系式求数列的通项公式，利用错位相减法和公式法求出数列前n项和，是解题的关键．