Question

已知函数f（x）=（x²+1）（x+a）（a∈R），当f'（-1）=0时，求函数y=f（x），在上的最大值和最小值．

Answer 1

解：f（x）=x³+ax²+x+a，
f′（x）=3x²+2ax+1，
f′（-1）=3-2a+1=0，
∴a=2.，
由，得x＜-1，或x＞-；
由，得．
∴函数的递增区间是；
函数的递减区间是．
，
∴函数f（x）在上的最大值为6，最小值．
分析：由f（x）=x³+ax²+x+a，知f′（x）=3x²+2ax+1，故f′（-1）=3-2a+1=0，所以a=2．由此能求出函数y=f（x），在上的最大值和最小值．
点评：本题考查函数在闭区间上的最大值和最小值的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的灵活运用，培养学生的抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和创新意识．