题目内容

已知函数f（x）=- $数学公式$ + $数学公式$ （x＞0）．
（1）判断f（x）在（0，+∞）上的单调性，并证明；
（2）解关于x的不等式f（x）＞0；
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．

解：（1）f（x）在（0，+∞）上为减函数，证明如下：
∵f'（x）=- $\text{[math]}$ ＜0，
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数．
（2）由f（x）＞0得- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞0，
即 $\text{[math]}$ ＜0．
①当a＞0时，不等式解集为{x|0＜x＜2a}．
②当a＜0时，原不等式为 $\text{[math]}$ ＞0．
解集为{x|x＞0}．
（3）若f（x）+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，
即- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +2x≥0．∴ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2x．
∵ $\text{[math]}$ +2x≥4，∴ $\text{[math]}$ ≤4．
解得a＜0或a≥ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）求导，判断导数在（0，+∞）上的符号，判断出单调性，本题是先判断后证明，格式应为“f（x）在（0，+∞）上为减函数，证明如下：…
（2）由f（x）＞0得- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ＞0，整理得 $\text{[math]}$ ＜0．求解时要对参数a的范围进行分类讨论，分类解不等式；
（3）对恒等式进行变形，得到 $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ +2x．求出 $\text{[math]}$ +2x的最小值，令 $\text{[math]}$ 小于等于它即可解出参数a的取值范围．
点评：本题考查用导数法证明函数的单调性、利用单调性解不等式以及恒成立的问题求参数．解题中变形灵活，转化得当，值得借鉴．