Question

已知等比数列{a_n}中，a₂＞a₃=1，则使不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）≥0成立的最大自然数n是

 

Answer 1

分析：先根据a₂＞a₃=1判断公比q的范围，可得到当n＞3时，有a_n-

1

an

＜0，当n＜3时a_n-

1

an

＞0，再用q表示出a₁，…，a₅，进而得到（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+（a₄-

1

a4

）+（a₅-

1

a5

）=0，从而得到不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）≥0成立的条件．

解答：解：设公比为q，a₂＞a₃=1，则有1＞q＞0
可知n＞3时，有a_n-

1

an

＜0
a₃=a₁q²=1得a₁=

1

q2

则有a₅=a₁q⁴=q²=

1

a1

，同理有a₂=

1

a4

得（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+（a₄-

1

a4

）+（a₅-

1

a5

）=0
∴不等式（a₁-

1

a1

）+（a₂-

1

a2

）+（a₃-

1

a3

）+…+（a_n-

1

an

）≥0成立的最大自然数n等于5
故答案为5

点评：本题主要考查等比数列的基本性质．考查运算能力和递推关系．