Question

已知函数f（x）=4^x-1-16^x+1的定义域与函数g（x）=

x+2

-

-x-1

的定义域相同，求函数f（x）的最大值与最小值．

Answer 1

分析：由根式函数的定义域可g（x）=

x+2

-

-x-1

的定义域，从而f（x）的定义域是[-2，-1]，再设令t=4^x，则t∈[

1

16

，

1

4

]，利用二次函数在区间上的最值问题能求出函数f（x）的最大值和最小值．

解答：解：由x+2≥0且-x-1≥0得，定义域为[-2，-1]…（2分）
令t=4^x，则t∈[

1

16

，

1

4

]，
∴f（x）=g（t）=-t²+

1

4

?t+1（t∈[

1

16

，

1

4

]…（8分）
x=-

3

2

时，f（x）取得最大值

65

64

，x=-1时，f（x）取得最小值1，…（12分）

点评：本题考查指数函数的综合题，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．