题目内容
已知函数f（x）=ax3+（a-1）x2+48（a-2）x+b的图象关于原点成中心对称．（1）求a，b的值；
（2）求f（x）的单调区间及极值．
分析：（1）由函数f（x）的图象关于原点成中心对称，知f（x）是奇函数，再由其定义利用待定系数法求解．
（2）由（1）得f（x）=x3-48x，因为是高次函数，所以选用导数法，先求，再分别由导数大于零和小于零求解
（2）由（1）得f（x）=x3-48x，因为是高次函数，所以选用导数法，先求，再分别由导数大于零和小于零求解
解答：解：（1）∵函数f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x）
得-ax3+（a-1）x2-48（a-2）x+b=-ax3-（a-1）x2-48（a-2）x-b，
于是2（a-1）x2+2b=0恒成立，
∴
，解得a=1，b=0；
（2）由（1）得f（x）=x3-48x，
∴f'（x）=3x2-48=3（x+4）（x-4），
令f′（x）=0，得x1=-4，x2=4，
令f′（x）＜0，得-4＜x＜4，令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞4．
∴f（x）的递减区间为[-4，4]，递增区间为（-∞，-4）和（4，+∞），
∴f（x）极大=f（-4）=128，f（x）极小=f（4）=-128．
∴f（-x）=-f（x）
得-ax3+（a-1）x2-48（a-2）x+b=-ax3-（a-1）x2-48（a-2）x-b，
于是2（a-1）x2+2b=0恒成立，
∴
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（2）由（1）得f（x）=x3-48x，
∴f'（x）=3x2-48=3（x+4）（x-4），
令f′（x）=0，得x1=-4，x2=4，
令f′（x）＜0，得-4＜x＜4，令f′（x）＞0，得x＜-4或x＞4．
∴f（x）的递减区间为[-4，4]，递增区间为（-∞，-4）和（4，+∞），
∴f（x）极大=f（-4）=128，f（x）极小=f（4）=-128．
点评：本题主要考查函数的奇偶性和单调性以及导数在研究函数的单调性、极值等方面的应用．
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