题目内容
已知命题p：方程x2+mx+1=0有实数根；命题q：方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，若命题p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
分析：分别求出命题p，q的等价条件，然后利用p、q中有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围．
解答：
解：若方程x2+mx+1=0有实数根，则判别式△=m2-4≥0，解得m≥2或m≤-2，即p：m≥2或m≤-2．
若方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，则判别式△=16（m-2）2-16＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．
因为p、q中有且仅有一个为真命题，
则①若p真，q假，则
，解得m≥3或m≤-2．
②若p假q真，则
，解得1＜m＜2．
综上实数m的取值范围是m≥3或m≤-2或1＜m＜2．
解：若方程x2+mx+1=0有实数根，则判别式△=m2-4≥0，解得m≥2或m≤-2，即p：m≥2或m≤-2．若方程4x2+4（m-2）x+1=0无实数根，则判别式△=16（m-2）2-16＜0，解得1＜m＜3，即q：1＜m＜3．
因为p、q中有且仅有一个为真命题，
则①若p真，q假，则
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②若p假q真，则
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综上实数m的取值范围是m≥3或m≤-2或1＜m＜2．
点评：本题主要考查复合命题的应用，以及一元二次方程根的个数与判别式之间的关系，比较综合．
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