Question

已知函数f(x)=x²+lnx，
（Ⅰ）求函数f(x)在[1，e]上的最大值、最小值；
（Ⅱ）求证：在区间[1，+∞)上，函数f(x)的图象在函数g(x)=x³图象的下方；
（Ⅲ）求证：[f′(x)]ⁿ-f′(xⁿ)≥2ⁿ-2（n∈N*）。

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f′(x)=，
∴当x∈[1，e]时，f′(x)＞0，　
∴f(x)在[1，e]上是增函数，
故，；
（Ⅱ）设，则，
∵x＞1时，∴F′(x)＜0，故F(x)在[1，+∞)上是减函数，
又，故在[1，+∞)上，F(x)＜0，即，
∴函数f(x)的图象在函数的图象的下方。
（Ⅲ）∵x＞0，
∴，
当n=1时，不等式显然成立；
当n≥2时，有



≥，
∴[f′(x)]ⁿ-f′(xⁿ)≥2ⁿ-2（n∈N*）。