Question

不等式x²-3＞ax-a对一切3≤x≤4恒成立，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：由x²-3＞ax-a对一切3≤x≤4恒成立可得，a＜

x2- 3

x-1

在x∈[3，4]恒成立构造函数g(x)=

x2-3

x-1

，x∈[3，4]从而转化为a＜g（x）_min结合函数g(x)=

x2-3

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)-2

x-1

=(x-1)-

2

x-1

+ 2在x∈[3，4]单调性
可求

解答：解：∵x²-3＞ax-a对一切3≤x≤4恒成立
∴a＜

x2- 3

x-1

在x∈[3，4]恒成立
令g(x)=

x2-3

x-1

，x∈[3，4]即a＜g（x）_min
而g(x)=

x2-3

x-1

=

(x-1)2+2(x-1)-2

x-1

=(x-1)-

2

x-1

+ 2在x∈[3，4]单调递增
故g（x）在x=3时取得最小值3
故答案为：a＜3

点评：本题主要考查了函数恒成立问题，此类问题常构造函数，转化为求解函数的最值问题：a＞f（x）（或a＜f（x））恒成立?a＞f（x）_max（或a＜f（x）_min），体现了转化思想在解题中的应用．