Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x²﹣bx（b为常数）．
（1）函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线与g（x）的图象相切，求实数b的值；
（2）设h（x）=f（x）+g（x），若函数h（x）在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；
（3）若b＞1，对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|＞|g（x₁）﹣g（x₂）|成立，求b的取值范围．

Answer 1

解：（1）f（x）=lnx得f'（x）=，
函数f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线的斜率为f'（1）=1，
切线方程为：y﹣0=x﹣1即y=x﹣1．
由已知得它与g（x）的图象相切，将y=x﹣1代入得x
﹣1=x²﹣bx，即x²﹣（b+1）x+1=0，
∴△=（b+1）²﹣2=0，解得b=﹣1，
即实数b的值为﹣1．
（2）h（x）=f（x）+g（x）=lnx+x²﹣bx，
∴h'（x）=+x﹣b，
根据函数h（x）在定义域（0，+∞）上存在单调减区间，
∴存在x＞0，使得+x﹣b＜0，即b＞+x，
由于当x＞0时，+x≥2，
∴b＞2．
∴实数b 的取值范围（2，+∞）．
（3）对于区间[1，2]上的任意实数x，f'（x）=∈[，1]．g'（x）=x﹣b∈[1﹣b，2﹣b]，
要使得对于区间[1，2]上的任意两个不相等的实数x₁，x₂，都有|f（x₁）﹣f（x₂）|＞|g（x₁）﹣g（x₂）|成立，
即＞，
利用导数的几何是切线的斜率，得到f'（x）最小值＞g'（x）最大值，
即＞2﹣b，
∴b＞．
则b的取值范围（，+∞）．