题目内容
已知函数f(x)=2
sinxcosx+2cos2x+a-1(a∈R，a是常数）
（1）求f(
)的值；
（2）若函数f（x）在[-
，
]上的最大值与最小值之和为
，求实数a的值．
| 3 |
（1）求f(
| 5π |
| 3 |
（2）若函数f（x）在[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
分析：（1）利用二倍角、辅助角公式化简函数，再代入计算即可；
（2）先求出函数f（x）在[-
，
]上的最大值与最小值，再利用和为
，即可求实数a的值．
（2）先求出函数f（x）在[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| 3 |
解答：解：（1）f(x)=2
sinxcosx+2cos2x+a-1=
sin2x+cos2x+a=2sin(2x+
)+a…（3分）
∴f(
)=2sin(
+
)+a=a-2…（5分）
（2）∵x∈[-
，
]，∴2x+
∈[-
，
]，∴sin(2x+
)∈[-
，1]…（7分）
∴-
+a≤f(x)≤2+a
即ymax=2+a，ymin=-
+a…（10分）
由已知得-
+a+2+a=
所以a=
-1…（12分）
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
∴f(
| 5π |
| 3 |
| 10π |
| 3 |
| π |
| 6 |
（2）∵x∈[-
| π |
| 4 |
| π |
| 4 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
| π |
| 6 |
| ||
| 2 |
∴-
| 3 |
即ymax=2+a，ymin=-
| 3 |
由已知得-
| 3 |
| 3 |
所以a=
| 3 |
点评：本题考查三角函数的化简，考查函数的最值，考查学生的计算能力，属于基础题．
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