Question

方程组

x+y+z=0 xyz+z=0 xy+yz+xz+y=0

的有理数解（x，y，z）的个数为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

分析：首先对z进行分类讨论：①若z=0，则

x+y=0 xy+y=0

解得

x=0 y=0

或

x=-1 y=1

；②若z≠0，则由xyz+z=0得xy=-1先求得x、y的值，进一步确定方程组的正整数解组数．

解答：解：若z=0，则

x+y=0 xy+y=0

解得

x=0 y=0

或

x=-1 y=1

若z≠0，则由xyz+z=0得xy=-1．       ①
由x+y+z=0得z=-x-y．             ②
将②代入xy+yz+xz+y=0得x²+y²+xy-y=0．           ③
由①得x=-

1

y

，代入③化简得（y-1）（y³-y-1）=0．
易知y³-y-1=0无有理数根，故y=1，由①得x=-1，由②得z=0，与z≠0矛盾，
故该方程组共有两组有理数解

x=0 y=0 z=0

或

x=-1 y=1 z=0

点评：本小题主要考查根的存在性及根的个数判断等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．