Question

如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA^ CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED．

(Ⅰ)求证：PA^ 平面ABCD；

(Ⅱ)求二面角D－AC－E的余弦值；

(Ⅲ)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(Ⅰ)PA＝PD＝1，PD＝2，PA²＋AD²＝PD²，即：PA^ AD　2分

　　又PA^ CD，AD，CD相交于点D，PA^ 平面ABCD　4分

　　(Ⅱ)过E作EG//PA交AD于G，从而EG^ 平面ABCD，且AG＝2GD，

　　EG＝PA＝，　5分连接BD交AC于O，过G作GH//OD，交AC于H，

　　连接EH．GH^ AC，EH^ AC，Ð EHG为二面角D－AC―E的平面角．　6分

　　tanÐ EHG＝．二面角D－AC―E的平面角的余弦值为　8分

　　(Ⅲ)以AB，AD，PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E(0，，)，＝(1，1，0)，＝(0，，)－－－9分设平面AEC的法向量＝(x，y，z)，则，

　　即：，令y＝1，则＝(－1，1，－2)　10分

　　假设侧棱PC上存在一点F，且＝，(0£ £ 1)，使得：BF//平面AEC，则× ＝0．又因为：＝＋＝(0，1，0)＋(－，－，)＝(－，1－，)，× ＝＋1－－2＝0，＝，所以存在PC的中点F，使得BF//平面AEC　12分