Question

定义在实数集上的函数f（x）满足下列条件：
①f（x）是偶函数；②对任意非负实数x、y，都有f（x+y）=2f（x）f（y）；③当x＞0时，恒有f(x)＞

1

2

．
（1）求f（0）的值；
（2）证明：f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；
（3）若f（3）=2，解关于a的不等式f（a²-2a-9）≤8．

Answer 1

分析：（1）令x=0，y=1，易由f（x+y）=2f（x）f（y）求出f（0）的值；
（2）设0≤x₁＜x₂，根据当x＞0时，恒有f(x)＞

1

2

及f（x）是偶函数，结合函数单调性的定义可判断出f（x）在[0，+∞）上是单调增函数；
（3）令x=y=3，则f（6）=8，由（2）中函数的单调性，可将抽象不等式具体为|a²-2a-9|≤6，解绝对值不等式可得答案．

解答：解：（1）解：令x=0，y=1，
则f（1）=2f（0）•f（1），
∵f(1)＞

1

2

，
∴f(0)=

1

2

．…（4分）
（2）∵当x＞0时，恒有f(x)＞

1

2

，又f（x）是偶函数，
∴当x＜0时，f(x)=f(-x)＞

1

2

，
又f(0)=

1

2

，f（x）＞0恒成立．…（6分）
设0≤x₁＜x₂，则x₂-x₁＞0，f(x2-x1)＞

1

2

，
∴f（x₂）=2f（x₁）f（x₂-x₁）＞f（x₁），…（9分）
∴f（x）在[0，+∞）上是单调增函数．…（10分）
（3）令x=y=3，则f（6）=2f²（3）=8，…（12分）
∴f（a²-2a-9）=f（|a²-2a-9|）≤f（6），
由f（x）在[0，+∞）上是单调增函数，
得|a²-2a-9|≤6，…（14分）
即

a2-2a-9≥-6 a2-2a-9≤6

，
解得

a≤-1或a≥3 -3≤a≤5

，
∴-3≤a≤-1或3≤a≤5．…16 分

点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的判断与证明，函数单调性的性质，熟练掌握抽象函数“凑”的思想是解答的关键，本题难度中档．