Question

已知a＞0，a≠1．设命题p，q分别为p：函数y=x²+（3a-4）x+1的图象与x轴有两个不同的交点；q：函数y=a^x在（0，+∞）内单调递减．如果命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：依题意可分别求得命题p为真命题与命题q为真命题时a的取值范围，再结合题意，利用真值表通过解不等式组即可求得实数a的取值范围．

解答：解：因为a＞0，a≠1，
由命题p为真命题得：（3a-4）²-4＞0，解得0＜a＜

2

3

或a＞2…．（2分）
由命题q为真命题可得0＜a＜1…（4分）
由命题p或q为真命题，命题p且q为假命题，可知命题p、q为真命题恰好一真一假…．（6分）
（1）当命题p真q假时，

a＞1 0＜a＜ 2 3 或a＞2

，即a＞2…（9分）
（2）当命题p假q真时，

0＜a＜1 2 3 ≤a≤2

，即

2

3

≤a＜1…（12分）
综上，实数a的取值范围为

2

3

≤a＜1或a＞2．…．（14分）

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查二次函数与指数函数的性质，突出考查真值表的应用及解不等式组的能力，属于中档题．