题目内容

设任意实数x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使log
x0
x1
1993+log
x1
x2
1993+log
x2
x3
1993≥k•log
x0
x3
1993恒成立，则k的最大值是
9
9
．
分析：先利用换底公式进行化简，然后令a=lgx0-lgx1，b=lgx1-lgx2，c=lgx2-lgx3，将题目转化成不等式恒成立问题，最后利用柯西不等式求出最值即可求出所求．
解答：解：要使log
x0
x1
1993+log
x1
x2
1993+log
x2
x3
1993≥k•log
x0
x3
1993恒成立
即使
lg1993
lgx0-lgx1
+
lg1993
lgx1-lgx2
+
lg1993
lgx2-lgx3
≥k•
lg1993
lgx0-lgx3
恒成立
令a=lgx0-lgx1，b=lgx1-lgx2，c=lgx2-lgx3，而x0＞x1＞x2＞x3＞0
∴a＞0，b＞0，c＞0
即使得
1
a
+
1
b
+
1
c
≥k•
1
a+b+c
（a＞0，b＞0，c＞0）恒成立
即k≤（
1
a
+
1
b
+
1
c
）（a+b+c）的最小值
根据柯西不等式可知（
1
a
+
1
b
+
1
c
）（a+b+c）≥（
1
a
×
a
+
1
b
×
b
+
1
c
×
c
）2=（1+1+1）2=9
∴k的最大值是9
故答案为：9
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及柯西不等式的应用，同时考查了转化的思想，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设a＞0，函数f(x)=
1
x2+a
．
（Ⅰ）证明：存在唯一实数x0∈(0，
1
a
)，使f（x0）=x0；
（Ⅱ）定义数列{xn}：x1=0，xn+1=f（xn），n∈N*．
（i）求证：对任意正整数n都有x2n-1＜x0＜x2n；
（ii） 当a=2时，若0＜xk≤
1
2
(k=2，3，4，…)，证明：对任意m∈N*都有：|xm+k-xk|＜
1
3•4k-1
．
已知函数f（x）=lnx+
k
x
，k∈R
（1）若k=1，求函数f（x）的单调区间；
（2）若f（x）≥2+
1-e
x
恒成立，求实数k的取值范围；
（3）设g（x）=xf（x）-k，若对任意两个实数x1，x2满足0＜x1＜x2，总存在g′（x0）=
g(x1)-g(x2)
x1-x2
成立，证明x0＞x1．

解答题

设任意实数x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使＋＋＞k恒成立，求k的最大值．
设任意实数x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使log
x0
x1
1993+log
x1
x2
1993+log
x2
x3
1993≥k•log
x0
x3
1993恒成立，则k的最大值是______．

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