Question

已知是不为零的常数，二次函数的定义域为R，函数为偶函数． 函数的定义域为．

(1)求的值；

（2）当、时，求函数的值域；

(3)是否存在实数、，使函数的值域为？如果存在，求出、的值； 如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1) ，       …………1分

        ，   …………2分

由为偶函数，知恒成立，得，…………3分

             ∴．                                                 …………4分

（直接由的表达式及偶函数得出，建议不扣分；用图象平移及二次函数对称轴得出，建议也不扣分．）

（2），对称轴为直线．     …………5分

当、时，定义域为．

在上递增，此时函数值的集合为，即；

在上递减，此时函数值的集合为，

即（如图）；

所以，当、时，

函数的值域为．                  …………8分

(3) 存在实数、，使函数的值域为．讨论如下：

①当时，函数在递增．若函数值域为，

             则，                                   …………9分

即、是方程的两根，而方程的两根是、，所以由<得，、．        …………10分

         ②当时，

若，函数的最大值为，则，相互矛盾．      …………11分

若，函数在递减，函数值域为，则．

两式相减后，变形得，而，

所以，，即，

代入得，此方程无实解，此时不存在、．…13分

综上所述，存在实数、，使函数的值域为．  …………14分