Question

（2003•朝阳区一模）已知函数f（x）=x+2（

2x

+1）（x≥0）．
（Ⅰ）求f（x）的反函数，并指出其定义域；
（Ⅱ）设数列{a_n}（a_n＞0）的前n项和为S_n（n∈N），若对于所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1），且a₁=2，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）令b_n=

(an+1-an)2

2anan+1

(n∈N)，求

：

lim n→∞

(b1+b2+…+bn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设y=f（x），通过解方程可求得x，然后交换变量字母，注意反函数定义域的求解；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得Sn=(

Sn-1

+

2

)2，易知S_n＞0，从而得

Sn

=

Sn-1

+

2

，可判断数列{

Sn

}是等差数列，公差为

2

，

S1

=

a1

=

2

，由此可求S_n，再根据an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，可求得a_n；
（Ⅲ）代入a_n可得bn=

1

2n-1

-

1

2n+1

，利用裂项相消法可求得b₁+b₂+…+b_n，然后求极限即可；

解答：解：(I)设y=f(x)，y=(

x

)2+2

2

x

+(

2

)2=(

x

+

2

)2，(x≥0)．
∵x≥0，∴y≥2．∴

y

=

x

+

2

．∴x=(

y

-

2

)2．
∴f(x)的反函数为f-1(x)=(

x

-

2

)2，(x≥2)．
(II)∵Sn=(

Sn-1

+

2

)2，(an＞0)，
∴Sn＞0，

Sn

=

Sn-1

+

2

．即

Sn

-

Sn-1

=

2

．
所以数列{

Sn

}是等差数列，公差为

2

，

S1

=

a1

=

2

，
∴

Sn

=

2

+

2

(n-1)．即Sn=2n2(n∈N)．
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=2n2-2(n-1)2=4n-2，
当n=1时，a₁=2，满足a_n=4n-2，
∴a_n=4n-2（n∈N）．
(III)∵bn=

(an+1-an)2

2anan+1

=

(4n+2-4n+2)2

2(4n-2)(4n+2)

=

2

(2n-1)(2n+1)

=

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴b1+b2+…+bn=(1-

1

3

)+(

1

3

-

1

5

)+…+(

1

2n-1

-

1

2n+1

)=1-

1

2n+1

．
∴

lim

n→∞

(b1+b2+…+bn)=

lim

n→∞

(1-

1

2n+1

)=1．

点评：本题考查反函数的求法、由递推式求数列通项及数列极限，考查学生的运算求解能力．