Question

已知椭圆E：的离心率为，它的上顶点为A，左、右焦点分别为F₁，F₂，直线AF₁，AF₂分别交椭圆于点B，C．
（1）求证直线BO平分线段AC；
（2）设点P（m，n）（m，n为常数）在直线BO上且在椭圆外，过P的动直线l与椭圆交于两个不同点M，N，在线段MN上取点Q，满足，试证明点Q恒在一定直线上．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用离心率计算公式，及b²=a²-c²=2c²，可以用c表示a，b，即可表示椭圆的标准方程，进而得到点A，F₁的坐标；与椭圆的方程联立即可解得点B的坐标，利用对称性即可得到点C的坐标，利用中点坐标公式即可得到相等AC的中点坐标，满足直线BO的方程即可；
（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），点Q（x，y），可得，．设=λ，则，，利用向量相等即可得到m，n，x，y用x₁，y₁，x₂，y₂，λ表示，进而得到2mx+3ny为常数即可．
解答：证明：（1）由题意，，则，b²=a²-c²=2c²，
故椭圆方程为，
即2x²+3y²-6c²=0，其中，F₁（-c，0），
∴直线AF₁的斜率为，此时直线AF₁的方程为，
联立得2x²+3cx=0，解得x₁=0（舍）和，即B，
由对称性知．
直线BO的方程为，
线段AC的中点坐标为，
AC的中点坐标满足直线BO的方程，即直线BO平分线段AC．
（2）设过P的直线l与椭圆交于两个不同点的坐标为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），点Q（x，y），
则，．
设=λ，则，，
求得，，，，
∴，，
∴2mx+3ny====6c²，
由于m，n，C为常数，所以点Q恒在直线2mx+3ny-6c²=0上．
点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、向量共线等基础知识与方法，需要较强的推理能力与计算能力．