Question

以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，若||PA|-|PB||=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；
③抛物线x=ay²（a≠0）的焦点坐标是；
④曲线与曲线（λ＜35且λ≠10）有相同的焦点．
其中真命题的序号为    写出所有真命题的序号．

Answer 1

【答案】分析：①利用双曲线的定义中对a，c的要求即可判断．
②把定圆C和定点A具体化，利用向量间的关系求出点B和点P的坐标间的关系，再利用B在圆上就可求出动点P的轨迹，然后在下结论即可．
③先把抛物线转化为标准形式，再利用焦点坐标和标准方程中P的关系就可判断
④把两曲线的焦点分别求出，就可下结论．
解答：解：①因为双曲线的定义中要求k＜|AB|故①不成立
②设定圆C的方程为x²+y²=9，点A（3，0），B（a，b），点P（x，y），
则由=+得动点P为动弦AB的中点，所以有⇒
又因为点B在圆上所以有（2x-3）²+（2y）²=9
即动点P的轨迹为圆．所以②为假命题．
③先把抛物线转化为标准形式y²=x，a＞0，2p=，=，焦点坐标是；
a＜0，2p=-，=-，焦点坐标是；③为真命题．
④因为曲线的焦点为（5，0）（-5，0）．
而由曲线中λ＜35且λ≠10知表示的是a²=35-λ，b²=10-λ，c²=25，的椭圆，所以焦点为（5，0）（-5，0）．即④为真命题．
故答案为  ③④．
点评：本题是对圆锥曲线问题的综合考查．象这一类型题，一般是做为压轴题出现的，所以有点难度．