Question

（2013•黄冈模拟）如图，在四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已 知平面AA₁C₁C丄平面ABCD，且AB=BC=CA=

3

，AD=CD=1
（I）求证：BD丄AA₁；
（II）若四边形ACC₁A₁是菱形，且∠A₁AC=60°，求四棱柱 ABCD-A₁B₁C₁D₁ 的体积．

Answer 1

分析：（I）利用垂直平分线的判定定理即可得到BD垂直平分AC，利用面面垂直的性质定理即可得到BD⊥平面AA₁C₁C，利用线面垂直的性质定理即可证明结论；
（II）过点A₁作A₁E丄AC于点E，即A₁E为四棱柱的一条高．又由四边形AA₁C₁C是菱形，则得四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为h=

3

2

，再由四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面面积为

3

，即可得到四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积．

解答：解：（Ⅰ）在四边形ABCD中，∵BA=BC，DA=DC，∴BD⊥AC．   
又∵平面AA₁C₁C丄平面ABCD，且平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，BD?平面ABCD，
∴BD丄平面AA₁C₁C． 
又∵AA₁?平面AA₁C₁C，
∴BD丄AA₁；
（Ⅱ）过点A₁作A₁E丄AC于点E，
∵平面AA₁C₁C丄平面ABCD，
∴A₁E丄平面ABCD，
即A₁E为四棱柱的一条高．       
又∵四边形AA₁C₁C是菱形，且∠A₁AC=60°，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高为h=A₁E=

3

sin60°=

3

2

         
又∵四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面面积SABCD=

1

2

|AC||BD|=

1

2

×

3

×(

1

2

+

3

2

)=

3

，
∴四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的体积为V=

3

×

3

2

=

3 3

2

．

点评：熟练掌握垂直平分线的判定定理、面面垂直的性质定理、直角△OCD的边角关系、等边三角形的性质、线面平行的判定定理是解题的关键．