Question

已知椭圆C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F₁（-1，0）、F₂（1，0），上顶点为M，且△MF₁F₂是等边三角形．
（I）求椭圆C的方程；
（II）过点Q（4，0）的直线l交椭圆C于不同的两点A、B，设点A关于x轴的对称点为A₁，求证：直线A₁B与x轴交于一个定点，并求出此定点坐标．

Answer 1

分析：（1）由题设知，b=

3

，a2=b2+1=4，由此能求出C的方程．
（2）当l不垂直于y轴时，设l的方程为x=ky+4，由

x=ky+4 3x2+4y2=12

，得（3k²+4）y²+24ky+36=0，由△＞0，知b²＞4．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（x₁，-y₁），y1+y2=-

24k

3k2+4

，y1y2=

36

3k2+4

，直线x₁y₂+x₂y₁=2ky₁y₂+4（y₁+y₂）=-

24k

3k2+4

=y1+y2，由此能够证明直线A₁B恒过定点（1，0）．

解答：解：（1）由题设知，b=

3

，a2=b2+1=4，
∴C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）直线l不垂直于x轴，
当l不垂直于y轴时，设l的方程为x=ky+4，
由

x=ky+4 3x2+4y2=12

，得（3k²+4）y²+24ky+36=0，
∵△＞0，∴b²＞4．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则A₁（x₁，-y₁），
y1+y2=-

24k

3k2+4

，y1y2=

36

3k2+4

，
直线A1B： y+y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)，
∵x₁y₂+x₂y₁=2ky₁y₂+4（y₁+y₂）=-

24k

3k2+4

=y1+y2，
∴直线A1B：y-y1=

y2+y1

x2-x1

(x-x1)即y=

y1+y2

x2-x1

(x-1)恒过定点（1，0）．
∴A₁B恒过定点（1，0）．

点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与椭圆的相关知识，解题时要注意合理地进行等价转化．