Question

已知椭圆C：，F为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆C交于A、B两点，若线段AB中点在直线x+2y=0上，求△FAB的面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用F为其右焦点，过F垂直于x轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，建立方程组，求得几何量，即可求得椭圆方程；
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆联立，利用线段AB中点在直线x+2y=0上求得k的值，求出|AB|，及点F到直线AB的距离，表示出三角形的面积，利用求导数的方法，即可确定△FAB的面积的最大值．
解答：解：（1）由题意，解得，∴所求椭圆方程为．   …（4分）
（2）直线l：y=kx+m（km≠0）与椭圆联立，消去y得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-4=0，…（5分）
△=16k²m²-4（1+2k²）（2m²-4）=8（6-m²）＞0，∴
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）P（x，y），由韦达定理得=，．
由点P在直线x+2y=0上，得k=1．                            …（7分）
所以|AB|==．
又点F到直线AB的距离．
∴△FAB的面积为=（|m|＜，m≠0）．…（10分）
设u（m）=（6-m²）（m+）²（|m|＜，m≠0），则令u′（m）=-2（2m+3）（m+）（m-）=0，可得m=-或m=-或m=；
当时，u′（m）＞0；当时，u′（m）＜0；
当时，u′（m）＞0；当时，u′（m）＜0
又u（）=，
所以当m=时，△FAB的面积取最大值…（12分）
点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查利用导数的方法求函数的最值，属于中档题．