Question

如图，直角梯形ABCD中，AD=3，AB=4，BC=

3

，曲线DE上任一点到A、B两点距离之和都相等．（E与AB在一条直线上）
（1）适当建立直角坐标系，求曲线DE的方程；
（2）过C点能否作一条直线与曲线DE相交且以C为中点的弦？如果不能，请说明理由；如果能，请求出该弦所在直线的方程．

Answer 1

分析：（1）建立平面直角坐标系，利用曲线的方程这一概念求其动点的轨迹方程，要注意求解方程之后要有题意去排杂；
（2）利用假设的思想，设出变量，存在建立方程求解，不存在会产生矛盾及可求解．

解答：解：（1）取AB中点O为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，

则A（-2，0），B（2，0），C（2，

3

），D（-2，3）．
由题意，曲线DE为以A、B为焦点的一段椭圆弧．
由于a=

1

2

(|AD|+|BD|)=4，c=2，b²=12
所以曲线DE的方程为

x2

16

+

y2

12

=1(-2≤x≤4，y≥0)．
（2）设这样的弦存在，其方程y-

3

=k（x-2），即y=k（x-2）+

3

，将其代入椭圆方程
消去y得（3+4k²）x²+（8

3

k-16k²）x+16k²-16

3

k-36=0
设弦的端点为M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则由

x1+x2

2

=2，知x₁+x₂=4，
∴-

8 3 k-16k2

3+4k2

=4，解得k=-

3

2

．
∴弦MN所在直线方程为y=-

3

2

x+2

3

，验证得知，这时M（0，2

3

2

），N（4，0）适合条件．
故这样的直线存在，其方程为y=-

3

2

x+2

3

．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与曲线的位置关系，假设存在，建立方程求解或找矛盾是这类问题常用方法．