题目内容

已知点M为等边三角形ABC的中心，AB=2，直线l过点M交边AB于点P，交边AC于点Q，则
BQ
•
CP
的最大值为
-
22
9
-
22
9
．
分析：通过建立直角坐标系，利用直线的方程联立即可得出点P，Q的坐标，再利用数量积运算和函数的单调性即可得出．
解答：解：如图所示，建立直角坐标系．则A(0，
3
)，B（-1，0），C（1，0），M(0，
3
3
)．
设直线l的斜率为k，则(-
3
3
≤k≤
3
3
)．则直线l的方程为y=kx+
3
3
．
又直线AC的方程为x+
y
3
=1，直线AB的方程为-x+
y
3
=1．
联立
y=kx+
3
3
x+
y
3
=1
，解得Q(
2
3+
3
k
，
1+
3
k
3
+k
)．
同理解得P(
2
3
k-3
，
3
k-1
k-
3
)．
∴
BQ
•
CP
=(
2
3+
3
k
+1，
1+
3
k
3
+k
)•(
2
3
k-3
-1，
3
k-1
k-
3
)=
6k2+22
3k2-9
=2+
40
3k2-9
，
∵0≤k2≤
1
3
．
∴当且仅当k=0时，
BQ
•
CP
的最大值为 -
22
9
．
故答案为-
22
9
．
点评：通过建立直角坐标系利用直线的方程联立得出交点坐标及掌握数量积运算和函数的单调性等是解题的关键．
练习册系列答案
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精英家教网如图，已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，准线为直线l，P为抛物线上的一点，过点P作l的垂线，垂足为点Q．当P的横坐标为3时，△PQF为等边三角形．
（1）求抛物线的方程；
（2）过点F的直线交抛物线于A，B两点，交直线l于点M，交y轴于G．
①若
MA
=λ1
AF
，
MB
=λ2
BF
，求证：λ1+λ2为常数；
②求
GA
•
GB
的取值范围．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）过点（
3
，
3
2
），椭圆C左右焦点分别为F1，F2，上顶点为E，△EF1F2为等边三角形．定义椭圆C上的点M（x0，y0）的“伴随点”为N（
x0
a
，
y0
b
）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若圆C1的方程为（x+2a）2+y2=a2，圆C1和x轴相交于A，B两点，点P为圆C1上不同于A，B的任意一点，直线PA，PB交y轴于S，T两点．当点P变化时，以ST为直径的圆C2是否经过圆C1内一定点？请证明你的结论；
（Ⅲ）直线l交椭圆C于H、J两点，若点H、J的“伴随点”分别是L、Q，且以LQ为直径的圆经过坐标原点O．椭圆C的右顶点为D，试探究△OHJ的面积与△ODE的面积的大小关系，并证明．
已知点M为等边三角形ABC的中心，AB=2，直线l过点M交边AB于点P，交边AC于点Q，则的最大值为    ．
已知点M为等边三角形ABC的中心，AB=2，直线l过点M交边AB于点P，交边AC于点Q，则的最大值为    ．

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