Question

【题目】已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），e= ， 其中F是椭圆的右焦点，焦距为2，直线l与椭圆C交于点A、B，点A，B的中点横坐标为 ， 且=λ（其中λ＞1）．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）求实数λ的值．

Answer 1

【答案】解：（I）由条件可知c=1，a=2，故b2=a2﹣c2=3，
椭圆的标准方程是．
（Ⅱ）由=λ，可知A，B，F三点共线，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），
若直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合题意．
当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．
由，消去y得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0．①
由①的判别式△=64k4﹣4（4k2+3）（4k2﹣12）=144（k2+1）＞0．
因为，
所以=，所以k2=．
将k2=代入方程①，得4x2﹣2x﹣11=0，
解得x=．
又因为=（1﹣x1 ， ﹣y1），=（x2﹣1，y2），=λ，
，解得．
【解析】（I）由条件可知c=1，a=2，由此能求出椭圆的标准方程．
（Ⅱ）由=λ ， 可知A，B，F三点共线，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线AB⊥x轴，则x1=x2=1，不合意题意．当AB所在直线l的斜率k存在时，设方程为y=k（x﹣1）．由 ， 得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，由此利用根的判别式、韦达定理，结合已知条件能求出实数λ的值。