Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．
（1）若a=2

3

，b=c=2，求角A的大小．
（2）若a=2，A=

π

3

，C=

π

4

，求b边的长．
（3）若△ABC为等腰三角形，腰AC边上的中线长为6m（m＞0），求△ABC面积的最大值．（用常数m表示）

Answer 1

分析：（1）利用余弦定理表示出cosA，将已知的a，b及c的值代入，求出cosA的值，由A为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；
（2）由A和C的度数，利用三角形的内角和定理求出B的度数，再由a，sinA及sinB的值，利用正弦定理即可求出b的值；
（3）设BD为AC边上的中线，根据等底同高得到三角形ABD的面积与三角形BCD的面积相等，都等于三角形ABC面积的一半，然后以BD所在的直线为x轴，线段BD的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，可得出B和D的坐标，设出A的坐标为（x，y），根据AB等于2AD列出关系式，整理后得到A的轨迹方程，进而确定出y的最大值即为三角形ABD中BD边上的高的最大值，由底BD为6m，利用三角形的面积公式求出三角形ABD面积的最大值，即可得到三角形ABC面积的最大值．

解答：解：（1）∵a=2

3

，b=c=2，
∴cosA=

b2+c2-a2

2bc

=-

1

2

，
又A为三角形的内角，
则A=

2π

3

；…（4分）
（2）∵A=

π

3

，C=

π

4

，
∴B=π-（A+C）=

5π

12

，…（6分），
∴sinB=sin

5π

12

=sin（

π

6

+

π

4

）=sin

π

6

cos

π

4

+cos

π

6

sin

π

4

=

2 + 6

4

，
又a=2，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理得：

2

3 2

=

b

sin 5π 12

，
∴b=

3 2 + 6

3

；…（8分）

（3）设AC边上的中线为BD，则S_△ABC=2S_△ABD，
以BD所在直线为x轴，其垂直平分线所在直线为y轴作直角坐标系xoy，
如图所示，设点A（x，y），
则由AB=2AD得：

(x+3m)2+y2

=2

(x-3m)2+y2

，
整理后，得到点A的轨迹方程为（x-5m）²+y²=16m²（y≠0），
∴当x=5m时，y的最大值为4m，即△ABD中BD边上的高的最大值为4m．
∴△ABD面积的最大值为12m²，
∴△ABC面积的最大值为24m²．…（15分）

点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形的内角和定理，特殊角的三角函数值，动点的轨迹方程，两点间的距离公式，中线的性质，其中建立适当的坐标系，得出动点A的轨迹方程，进而确定出y的最大值，即△ABD中BD边上的高的最大值是解本题的关键．