Question

（2012•卢湾区一模）已知数列{a_n}，若a₁=14，an+1=an-

2

3

（n∈N^*），则使a_n•a_n+2＜0成立的n的值是

21

．

Answer 1

分析：由题设知数列{a_n}是首项为14，公差为-

2

3

的等差数列，故an=14+(n-1)×(-

2

3

)=-

2

3

n+

44

3

，由此推导出a_n•a_n+2=

4

9

n2-

168

9

n+

1760

9

，由此能求出使a_n•a_n+2＜0成立的n的值．

解答：解：∵a₁=14，an+1=an-

2

3

（n∈N^*），
∴数列{a_n}是首项为14，公差为-

2

3

的等差数列，
∴an=14+(n-1)×(-

2

3

)=-

2

3

n+

44

3

，
∴a_n•a_n+2=（-

2

3

n+

44

3

）[-

2

3

(n+2)+

44

3

]
=

4

9

n2-

168

9

n+

1760

9

，
∵a_n•a_n+2＜0，
∴

4

9

n2-

168

9

n+

1760

9

＜0，
整理，得n²-42n+440＜0，
解得20＜n＜22，
∵n∈N^*，∴n=21．
故答案为：21．

点评：本题考查数列的递推公式的应用，解题时要熟练掌握等差数列的性质和应用，注意合理地进行等价转化．