Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁的长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点．
（Ⅰ）求证：平面BCE⊥平面BDE；
（Ⅱ）求二面角E-BD-C的大小；
（Ⅲ）求点C到平面BDE的距离．

Answer 1

解：（Ⅰ）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
∵直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁的长为a，
底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点，
∴B（a，2a，0），C（0，2a，0），E（0，a，a），D（0，0，0），
，，，
设平面BDE的法向量为=（x₁，y₁，z₁），
则，，
∴，
∴=（2，-1，1）．
设平面BCE的法向量为，
则，，
∴，
∴，
∵=0-1+1=0，
∴平面BCE⊥平面BDE．
（Ⅱ）设二面角E-BD-C的平面角为θ，
∵平面EBD的法向量=（2，-1，1），平面BDC的法向量=（0，0，1），
∴cosθ=|cos＜＞|
=||=．
∴二面角E-BD-C的大小为arccos．
（Ⅲ）∵平面BDE的法向量=（2，-1，1），，
∴点C到平面BDE的距离d===．
分析：（Ⅰ）以DA为x轴，以DC为y轴，以DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱AA₁的长为a，底面ABCD是边长AB=2a，BC=a的矩形，E为C₁D₁的中点，知，，，求出平面BDE的法向量为=（2，-1，1）．设平面BCE的法向量，利用向量法能够证明平面BCE⊥平面BDE．
（Ⅱ）设二面角E-BD-C的平面角为θ，由平面EBD的法向量=（2，-1，1），平面BDC的法向量=（0，0，1），利用向量法能够求出二面角E-BD-C的大小．
（Ⅲ）由平面BDE的法向量=（2，-1，1），，利用向量法能够求出点C到平面BDE的距离．
点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，考查点到平面的距离，解题时要认真审题，合理地建立空间直角坐标系，注意向量法的合理运用．