题目内容

已知函数f（x）=cos（2x- $数学公式$ ）+2sin（x- $数学公式$ sin（x+ $数学公式$ ，求函数f（x）在区间 $数学公式$ 上的值域．

解：f（x）=cos（2x- $\text{[math]}$ ）+2sin（x- $\text{[math]}$ sin（x+ $\text{[math]}$
=cos（2x- $\text{[math]}$ ）+2（sin²xcos² $\text{[math]}$ -cos²xsin² $\text{[math]}$ ）
=cos（2x- $\text{[math]}$ ）+sin²x-cos²x=cos（2x- $\text{[math]}$ ）-cos2x
=cos2xcos $\text{[math]}$ +sin2xsin $\text{[math]}$ -cos2x
= $\text{[math]}$ sin2x- $\text{[math]}$ cos2x=sin（2x- $\text{[math]}$ ），
∵x∈ $\text{[math]}$ ，可得2x- $\text{[math]}$ ∈ $\text{[math]}$
∴当2x- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即x= $\text{[math]}$ 时，函数的取最大值为1
又∵f（- $\text{[math]}$ ）=- $\text{[math]}$ ＜f（ $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
∴当x= $\text{[math]}$ 时，函数取最小值- $\text{[math]}$ ，
综上所述，函数f（x）=在区间 $\text{[math]}$ 上的值域为[- $\text{[math]}$ ，1]．
分析：将函数表达式展开，利用降次公式化简，再用辅助角公式进行合并，可得f（x）=sin（2x- $\text{[math]}$ ），然后利用正弦函数的图象与性质，则不难求出函数f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上的值域．
点评：本题将一个三角函数式化简，求它在闭区间上的值域，着重考查了和与差的三角函数公式、降次公式和辅助角公式，以及三角函数的值域求法等知识，属于基础题．