Question

如图，四棱锥A-BCDE的底面BCDE是直角梯形，CE∥BD，∠ECB=90°，AC⊥平面BCDE，CE=CB=CA=2，BD=1．
（Ⅰ）求直线CA与平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅱ）在线段ED上是否存在一点F，使得异面直线CF与AB所成角余弦值等

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？若存在，试确定点F的位置；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面ADE的法向量，即可求得直线CA与平面ADE所成角的正弦值；
（Ⅱ）假设存在λ∈（0，1），使得

EF

=λ

ED

，则F（0，2λ，2-λ），利用异面直线CF与AB所成角余弦值等于

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，建立等式，即可求得结论．

解答：解：（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系，则A（2，0，0），B（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2）．
∴

CA

=(2，0，0)，

AE

=(-2，0，2)，

ED

=(0，2，-1)…（2分）
设平面ADE的法向量是

m

=(x，y，z)，
∴

-2x+2z=0 2y-z=0

，取y=1，得

m

=(2，1，2)，…（4分）
∴直线CA与平面ADE所成角的正弦值是|cos＜

CA

，

m

＞|=

2

3

；              …（6分）
（Ⅱ）假设存在λ∈（0，1），使得

EF

=λ

ED

，则F（0，2λ，2-λ），
∴

CF

=（0，2λ，2-λ），
∵

AB

=(-2，2，0)，∴|cos＜

CF

，

AB

＞|=

2 λ

4λ2+(2-λ)2

…（8分）
令

2 λ

4λ2+(2-λ)2

=

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，解得λ=-1，或λ=

1

2

，…（10分）
∵λ∈（0，1），∴λ=

1

2

，…（11分）
∴当F是线段线段ED的中点时，异面直线CF与AB所成角余弦值等于

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．…（12分）

点评：本题考查利用空间向量解决立体几何问题，解题的关键是建立坐标系，用向量表示点与坐标．