Question

为了解某校高三学生的视力情况，随机地抽查了该校100名高三学生的视力，按视力情况分成8组，得到如图所示的频率分布直方图，但不慎将部分数据丢失，只知道前6组的频数从左到右依次是等比数列{a_n}的前六项，后3组的频数从左到右依次是等差数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足c_n=

35-bn

3an

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）依题意可求得a₁，a₂，从而可求得等比数列{a_n}的公比，继而可求得其通项公式，同理可求得b₁及其公差d，继而可求得其通项公式；
（2）由于c_n=（3n-2）•(

1

2

)n-1，可列出S_n的表示式，利用错位相减法求和即可．

解答：解：（1）由题意知：a₁=0.05×0.2×100=1，
a₂=0.1×0.2×100=2．
因此，数列{a_n}是一个首项为1，公比为2的等比数列，所以a_n=2^n-1．
b₁=a₆=32，b₁+b₂+b₃=100-（a₁+a₂+…+a₅）=69，
所以3b₁+

3×2

2

d=69，解得d=-9，
因此，数列{b_n}是一个首项为32，公差为-9的等差数列，
所以b_n=-9n+41．
（2）c_n=

35-(-9n+41)

3×2n-1

=

3n-2

2n-1

=（3n-2）•(

1

2

)n-1，则  
    S_n=1×(

1

2

)0+4×(

1

2

)1+7×(

1

2

)2+…+（3n-2）×(

1

2

)n-1       ①

1

2

S_n=1×(

1

2

)1+4×(

1

2

)2+7×(

1

2

)3+…+（3n-5）×(

1

2

)n-1+（3n-2）×(

1

2

)n②
故①-②得：

1

2

S_n=1+3×(

1

2

)1+3×(

1

2

)2+3×(

1

2

)3+…+3×(

1

2

)n-1-（3n-2）×(

1

2

)n
∴

1

2

S_n=1+3×

1 2 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-（3n-2）×(

1

2

)n=4-

3n+4

2n

，
∴S_n=8-

3n+4

2n-1

．

点评：本题考查数列求和，着重考查等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法求和，考查观察、分析与运算能力，属于难题．