Question

正项数列{a_n}满足，a1=1，

a

2 n+1

=

a

2 n

+2an+1，则

1

a1a2

+

1

a2a3

+…

1

anan+1

=（　　）

• A．2-

  2

  n

• B．1-

  1

  n

• C．1-

  1

  n+1

• D．2-

  2

  n+1

Answer 1

分析：由已知可得an+1=an+

1

2

，结合等差数列的通项公式可求a_n，进而可求

1

anan+1

，利用裂项相消法可求数列的和

解答：解：∵an+12=an2+2an+1=(an+1)2且a_n＞0
∴a_n+1=a_n+1
∵a₁=1
∴数列{a_n}是以1为首项，以1为公差的等差数列
∴a_n=1+n-1=n
∴

1

an+1an

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴

1

a1a2

+

1

a2a3

+…+

1

anan+1

=

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

故选C

点评：本题主要考查了由数列的递推公式求解数列的通项公式，及等差数列的通项公式的应用，数列求和方法中的裂项求和方法的应用．