Question

已知函数y=f（x）的定义域是R，且f（

1

2

）=2，对任意m，n∈R，都有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，当x＞-

1

2

时，f（x）＞0．
（1）求f（0），f（-

1

2

）的值；
（2）证明：f（x）在定义域R上是增函数；
（3）求f（x）在[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析：（1）由条件，利用赋值法求f（0），f（-

1

2

）的值．
（2）利用函数的单调性结合条件，利用两次条件证明函数的函数的单调性．
（3）利用（2）的结论，确定f（x）的最大值为f（1），最小值为f（-1）．利用条件求出f（1），f（-1）的值，即可得到函数f（x）在[-1，1]上的最值．

解答：解：（1）∵f（m+n）=f（m）+f（n）-1，
∴令m=n=0，则f（0）=f（0）+f（0）-1，即f（0）=1．
∵f（

1

2

）=2，
∴f（

1

2

-

1

2

）=f（0）=f（

1

2

）+f(-

1

2

)-1，
即1=2+f（-

1

2

）-1，解得f（-

1

2

）=0．
（2）任意设x₁＜x₂，则f（x₂）=f（x₂-x₁+x₁）=f（x₂-x₁）+f（x₁）-1=f（x₂-x₁），
即f（x₂）-f（x₁）=f（x₂-x₁）-1=f（x₂-x₁-

1

2

+

1

2

）=f（x₂-x₁-

1

2

）+f(

1

2

)-1-1=f（x₂-x₁-

1

2

）+f(

1

2

)-2=f（x₂-x₁-

1

2

），
∵x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₂-x₁-

1

2

＞-

1

2

，此时f（x₂-x₁-

1

2

）＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在定义域R上是增函数．
（3）由（2）知f（x）在定义域R上是增函数．
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
∴f（x）的最大值为f（1），最小值为f（-1）．
由f（m+n）=f（m）+f（n）-1，f（

1

2

）=2，
得f（1）=f（

1

2

+

1

2

）=f（

1

2

）+f（

1

2

）-1=2+2-1=3，
f（1-1）=f（0）=f（1）+f（-1）-1，
∴f（-1）=f（0）+1-f（1）=1+1-3=-1．
∴f（x）的最大值f（1）=3，最小值为f（-1）=-1．

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法合理的利用条件是解决抽象函数的基本方法，综合性较强，难度较大．