Question

如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥，，平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，，．

（Ⅰ）求证：平面⊥平面；
（Ⅱ）若为棱的中点，求异面直线与所成角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）异面直线与所成角的余弦值为

试题分析：（Ⅰ）证两平面垂直，先证一个面内的一条直线垂直另一个平面.
在本题中可证得：平面，也可证：⊥平面．
（Ⅱ）法一、由（Ⅰ）题可得：直线、、两两垂直，故可以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量求异面直线与所成角的余弦值．
法二、可过作的平行线，从而将异面直线与所成角转化相交直线所成的角.
试题解析：（Ⅰ）法一：为的中点，
又即
∴四边形为平行四边形，
     即
又∵平面平面  且平面平面
平面
又平面，∴平面平面                    6分
法二：，，为的中点，∴且.
∴四边形为平行四边形，∴
∵ ∴即
∵  ∴ 
∵ ，
∴⊥平面．
∵ 平面，
∴平面⊥平面．               6分
（Ⅱ）∵，为的中点，
∴．
∵平面平面  且平面平面
∴平面．                                          8分
（注:不证明PQ⊥平面ABCD直接建系扣1分）
如图，以为原点建立空间直角坐标系．

则，，，，
∵是中点，∴  
∴
设异面直线与所成角为
则=
∴异面直线与所成角的余弦值为                     14分
法二、连接交于点，连接，则
所以就是异面直线与所成角


由（1）知平面，所以进而