Question

过双曲线2x²-y²=1上一点A(1,1)作两条动弦AB, AC,且直线AB, AC的斜率的乘积为3.

(1)问直线BC是否可与坐标轴垂直?若可与坐标轴垂直,求直线BC的方程,若不与坐标轴垂直,试说明理由.

(2)证明直线BC过定点.

Answer 1

解:令B(x₁, y₁),C(x₂, y₂).

(1)当BC与x轴垂直时,有x₁=x₂,  y₁= -y₂,

故:3=

Þx₁=,与|x₁|³矛盾.因此AB不与x轴垂直.     …………………….  3分

当BC与y轴垂直时,有x₁= -x₂, y₁= y₂,

故:3=

Þy₁= -.因此AB可与y轴垂直, 此时AB的方程为y= -.  …………  5分

(2)当BC不与坐标轴垂直时,

k_AB·k_AC==3,

故3(x₁-1)(x₂-1)=(y₁-1)(y₂-1).       ………①     .............. 6分

令BC : y=kx+b,代入双曲线方程有:

2x²-(kx+b)²=1Û(2-k²)x²-2kbx-b²-1=0.………②

x₁,x₂是方程②的两个实根.

令f(x)= (2-k²)x²-2kbx-b²-1,

则(x₁-1)(x₂-1)= . ③    ……………….. 8分

直线方程又可写成:x=,

代入2x²-y²=1,有: 2(y-b)²-k²y²=k²,

整理得:(2-k²)y²-4by+2b²-k²=0.      ………④

y₁,y₂是方程④的两个实根.

令g(y)= (2-k²)y²-4by+2b²-k².

(y₁-1)(y₂-1)=   …⑤    ………………10分

③,⑤两式代入①式,有:

故3[1-(k+b)²]=2[(b-1)²-k²],        

从而:3(1-k-b)(1+k+b)=2(b-1-k)(b-1+k). ……⑥

因为点A(1,1)不在直线y=kx+b上,故k+b¹1.

利用⑥,可知: 3 (1+k+b)+ 2(b-1-k)=0,

即k+5b+1=0Û

因此直线AB过定点M.

直线y=-也过定点M.

综上所述,直线AB恒过定点M. ……………  14分