Question

已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足S_n=3ⁿ+k（k为常数，n∈N^*）．
（1）求k的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足

an+1

2

=(4+k)2n•bn，求数列{b_n}的前n和T_n．

Answer 1

分析：（1）方法一：由题意可得

a1=3+k a1+a2=9+k a1+a2+a3=27+k

解得a₁，a₂，a₃．利用{a_n}为等比数列，可得a22=a1a3，解得k，可得S_n．当n=1时，a₁=S₁=2，当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1即可得出．
方法二：当n=1时，a₁=S₁=3+k；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1．由于数列{a_n}是等比数列，可得q=

a3

a2

=

a2

a1

，解得k，即可得到a_n．
（2）将k及a_n+1，代入

an+1

2

=(4+k)2 nbn，得bn=

n

2n

，再利用“错位相减法”即可得出．

解答：解：（1）方法一
由题意可得

a1=3+k a1+a2=9+k a1+a2+a3=27+k

，
∴

a1=3+k a2=6 a3=18

，
又∵{a_n}为等比数列，
∴a22=a1a3，
即36=18（3+k），解得k=-1，
∴Sn=3n-1．
当n=1时，a₁=S₁=2，
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2•3n-1，
显然，n=1时也适合an=2•3n-1，
∴an=2•3n-1．
方法二
当n=1时，a₁=S₁=3+k；          
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=(3n-1)-(3n-1-1)=2•3n-1．
∵数列{a_n}是等比数列，
∴

a2

a1

=3，
即

2×3

3+k

=3，
解得k=-1，
∴an=2•3n-1．
（2）将k=-1及an+1=2•3n，代入

an+1

2

=(4+k)2 nbn，得bn=

n

2n

，
∴Tn=

1

21

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

①

1

2

Tn=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n-1

2n

+

n

2n+1

②
①-②得：

1

2

Tn=

1

2

+

1

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n

-

n

2n+1

=1-

1

2n

-

n

2n+1

，
∴Tn=2-

1

2n-1

-

n

2n

=2-

n+2

2n

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式和前n项和公式、“错位相减法”、求通项公式的方法，属于中档题．