题目内容

已知双曲线
x2
a2
-
y2
b2
=1(b＞a＞0)，O为坐标原点，离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上．
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线l与双曲线交于P，Q两点，且
OP
•
OQ
=0．问：
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
是否为定值？若是请求出该定值，若不是请说明理由．
（1）∵离心率e=2，点M(
5
，
3
)在双曲线上，∴
5
a2
-
3
b2
=1
c
a
=2
c2=a2+b2
，解得
a2=4
b2=12
c2=16
．
故所求双曲线的方程为
x2
4
-
y2
12
=1．
（2）设直线OP方程为y=kx（k≠0），联立3x2-y2=12．
联立
y=kx
3x2-y2=12
解得
x2=
12
3-k2
y2=
12k2
3-k2
，∴|OP|2=x2+y2=
12(k2+1)
3-k2
．
则OQ方程为y=-
1
k
x，同理解得|OQ|2=
12(k2+1)
3k2-1
．．
∴
1
|OP|2
+
1
|OQ|2
=
3-k2+3k2-1
12(k2+1)
=
1
6
．是定值．
练习册系列答案
相关题目
已知椭圆G：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
6
3
，右焦点为（2
2
，0）．斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P（-3，2）．
（Ⅰ）求椭圆G的方程；
（Ⅱ）求△PAB的面积．
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，抛物线准线与x轴交于C点，若∠CBF=90°，则|AF|-|BF|的值为（　　）
A．
p
2
B．pC．
3p
2
D．2p
若直线y=kx+1与曲线x=
1-4y2
有两个不同的交点，则k的取值范围是______．
椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，离心率e=
2
3
，过点C（-1，0）的直线l交椭圆于A、B两点，且满足：
CA
=λ
BC
（λ≥2）．
（1）若λ为常数，试用直线l的斜率k（k≠0）表示三角形OAB的面积；
（2）若λ为常数，当三角形OAB的面积取得最大值时，求椭圆E的方程；
（3）若λ变化，且λ=k2+1，试问：实数λ和直线l的斜率k（k∈R）分别为何值时，椭圆E的短半轴长取得最大值？并求出此时的椭圆方程．
双曲线E的渐近线方程为y=±
4
3
x，且经过点(2
3
，
4
3
3
)
（1）求双曲线E的方程；
（2）F1，F2为双曲线E的两个焦点，P为双曲线上一点，若|PF1|•|PF2|=32，求∠F1PF2的大小．
已知点A（1，1）是椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上一点，F1，F2是椭圆的两焦点，且满足|AF1|+|AF2|=4．
（I）求椭圆的标准方程；
（II）求过A（1，1）与椭圆相切的直线方程；
（III）设点C、D是椭圆上两点，直线AC、AD的倾斜角互补，试判断直线CD的斜率是否为定值？若是定值，求出定值；若不是定值，说明理由．
已知椭圆Γ：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，且椭圆Γ的右焦点F与抛物线y2=4x的焦点重合．
（Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；
（Ⅱ）过左焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，是否存在直线l，使得OA⊥OB，O为坐标原点，若存在，求出l的方程，若不存在，说明理由．
在同一坐标系中，方程
x2
a2
+
y2
b2
=1与bx2=-ay（a＞b＞0）表示的曲线大致是（　　）
A．B．C．D．

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