题目内容

已知θ为向量 $数学公式$ 与 $数学公式$ 的夹角，| $数学公式$ |=2，| $数学公式$ |=1，关于x的一元二次方程x²-| $数学公式$ |x+ $数学公式$ • $数学公式$ =0有实根．
（Ⅰ）求θ的取值范围；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求函数 $数学公式$ 的最值．

解：（I）由题意可得θ∈[0，π]，由| $\text{[math]}$ |=2，| $\text{[math]}$ |=1，可得| $\text{[math]}$ |²=4， $\text{[math]}$ =| $\text{[math]}$ || $\text{[math]}$ |cosθ．…（3分）
∵方程x²-|a|x+a•b=0有实根，则有△=| $\text{[math]}$ |²-4 $\text{[math]}$ =4（1-2cosθ）≥0，得 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ．…（6分）
（II）∵ $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ …（9分）
又因为 $\text{[math]}$ ，所以 $\text{[math]}$ ，
所以sin（ $\text{[math]}$
所以，函数的最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为-1．…（12分）
分析：（I）由方程x²-|a|x+a•b=0有实根，可得△=| $\text{[math]}$ |²-4 $\text{[math]}$ =4（1-2cosθ）≥0，得 $\text{[math]}$ ，结合θ∈[0，π]可求
（II）利用二倍角公式、辅助角公式对已知函数化简可得 $\text{[math]}$ =sin（2 $\text{[math]}$ ），结合θ的范围及正弦函数的性质可求函数的最值
点评：本题以向量的数量积的运算为载体主要考查了三角函数性质的应用，属于基础试题