题目内容
已知f（x）定义在（0，+∞）上的非负可导函数，且满足xf'（x）-f（x）≥0，对于任意的正数a，b，若a＜b，①af（b）≤bf（a）；②af（b）≥bf（a）；③af（a）≤bf（b）；④af（a）≥bf（b）．其中正确的是（ ）
分析：分别构建函数g（x）=xf（x），h（x）=
，利用xf'（x）-f（x）≥0，确定它们的单调性，从而可得结论．
| f(x) |
| x |
解答：解：构造函数g（x）=xf（x）
∴g′（x）=xf'（x）+f（x）
∵xf'（x）-f（x）≥0，
∴g′（x）≥2f（x）≥0
∴g（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∵a＜b，
∴g（a）＜g（b）
∴af（a）≤bf（b）
构造函数h（x）=
∴h′(x)=
∵xf'（x）-f（x）≥0，
∴h′（x）≥0
∴h（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∵a＜b，
∴h（a）＜h（b）
∴
≤
∴af（b）≥bf（a）
∴②③正确
故选D．
∴g′（x）=xf'（x）+f（x）
∵xf'（x）-f（x）≥0，
∴g′（x）≥2f（x）≥0
∴g（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∵a＜b，
∴g（a）＜g（b）
∴af（a）≤bf（b）
构造函数h（x）=
| f(x) |
| x |
∴h′(x)=
| xf′(x)-f(x) |
| x2 |
∵xf'（x）-f（x）≥0，
∴h′（x）≥0
∴h（x）在（0，+∞）上为单调增函数
∵a＜b，
∴h（a）＜h（b）
∴
| f(a) |
| a |
| f(b) |
| b |
∴af（b）≥bf（a）
∴②③正确
故选D．
点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查利用函数的单调性，建立不等关系，属于基础题．
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