Question

已知{a_n}是正数组成的数列，a₁=1，且点(

a

n，an+1)(n∈N*)在函数y=x²+1的图象上．数列{b_n}满足b₁=0，bn+1=bn+3an(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=2a_nb_n（n∈N^*），求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）把点(

an

，an+1)代入二次函数解析式，整理后得到数列{a_n}是等差数列，并求出公差，则其通项公式可求．在把数列{a_n}的通项公式代入bn+1=bn+3an，整理后得到数列{b_n}的递推式，利用类加法求{b_n}的通项公式；
（2）把数列{a_n}、{b_n}的通项公式代入c_n=2a_nb_n，整理后先分组，然后利用错位相减法求和．

解答：解：（1）∵点(

an

，an+1)在函数y=x²+1的图象上，
∴an+1=(

an

)2+1，即a_n+1-a_n=1．
∴数列{a_n}是以a₁=1为首项，以1为公差的等差数列．
则a_n=1+1×（n-1）=n．
∴bn+1=bn+3an=bn+3n，bn+1-bn=3n．
又b₁=0．
∴当n≥2时，
b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=0+3+3²+3³+…+3^n-1=

3(1-3n-1)

1-3

=

3n

2

-

3

2

．
此时对n=1时成立．
∴bn=

3n

2

-

3

2

；
（2）由c_n=2a_nb_n=2n（

3n

2

-

3

2

）=n•3ⁿ-3n．
∴Sn=(1•31+2•32+…+n•3n)-3(1+2+3+…+n)
=(1•31+2•32+…+n•3n)-

3n(n+1)

2

．
令Tn=1•31+2•32+…+n•3n①
3Tn=1•32+2•33+…+(n-1)•3n+n•3n+1②
①-②得：-2Tn=3+32+…+3n-n•3n+1．
∴Tn=

(2n-1)•3n+1+3

4

．
∴Sn=

(2n-1)•3n+1+3

4

-

3n(n+1)

2

．

点评：本题考查了数列的函数特性，考查了等差关系的确定和等差数列的通项公式，等比关系的确定和等比数列的通项公式，训练了分组求和及错位相减法求和，是中档题．