Question

（2010•福建模拟）已知函数f（x）=ax+lnx，x∈（l，e）．
（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）有极值，求实数a的取值范围和函数f（x）的值域；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，函数g（x）=x³-x-2，证明：?x₁∈（l，e），?x₀∈（l，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导数，再由函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，令f′(2)=a+

1

2

=1求解．
（Ⅱ）f（x）有极值，则f′(x)=a+

1

x

=0有解，由x∈（1，e）得到-

1

x

∈(-1，-

1

e

)，再由a=-

1

x

求得a的范围．求值域时，先求极值，再由a的范围，确定端点值与极值的大小关系，从而确定值域．要注意讨论．
（Ⅲ）：证明?x₁∈（l，e），?x₀∈（l，e），有g（x₀）=f（x₁）成立，即证函数f（x）的值域是函数g（x）的值域的子集．所以分别求得两个函数的值域，再盾集合的关系即可

解答：解：（Ⅰ）f′(x)=a+

1

x

=0（1分）
∵函数f（x）的图象在x=2处的切线的斜率为1，∴f′(2)=a+

1

2

=1（2分）
∴a=

1

2

（3分）
（Ⅱ）由f′(x)=a+

1

x

=0，可得a=-

1

x

∵x∈（1，e）
∴-

1

x

∈(-1，-

1

e

)
∴a∈(-1，-

1

e

)（5分）
经检验a∈(-1，-

1

e

)时，f（x）有极值．
∴实数a的取值范围为(-1，-

1

e

)．（6分）
列表

f（x）的极大值为f(-

1

a

)=-1+ln(-

1

a

)（7分）
又∵f（1）=a，f（e）=ae+1
由a≥ae+1，解得a≤

1

1-e

又∵-1＜

1

1-e

＜-

1

e

（8分）
∴当-1＜a≤

1

1-e

时，函数f（x）的值域为(ae+1，-1+ln(-

1

a

)]（9分）
当

1

1-e

＜a＜-

1

e

时，函数f（x）的值域为(a，-1+ln(-

1

a

)]．（10分）
（Ⅲ）证明：∵当x∈（1，e）时，g'（x）=3x²-1＞0，
∴g（x）在（1，e）上为单调递增函数（11分）
∵g（1）=-2，g（e）=e³-e-2∴g（x）在（1，e）的值域为（-2，e³-e-2）（12分）
∵e³-e-2＞-1+ln(-

1

a

)，-2＜ae+1，-2＜a
∴(ae+1，-1+ln(-

1

a

)]⊆（-2，e³-e-2），(a，-1+ln(-

1

a

)]⊆（-2，e³-e-2）
∴?x₁∈（1，e），?x₀∈（1，e），使得g（x₀）=f（x₁）成立．（14分）

点评：本题主要考查导数的几何意义以及用导数求函数的极值、最值和值域等问题，有参数时一定要注意分类讨论．