Question

已知正项数列{a_n}的前n项和为Sn，a1=

1

2

．当n≥2且n∈N^*时，点（S_n-1，S_n）在直线y=2x+

1

2

上，数列{b_n}满足bn=log

1

2

an(n∈N*)．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设数列{

bn

an

}的前n项和为T_n．求T_n．

Answer 1

分析：（1）由题意可得当n≥22S_n=4S_n-1+1，2Sn+1=4Sn+1(n∈N*)，两式相减即可求解
（2）由（1）可得

bn

an

=

2-n

2n-2

，结合数列的特点，考虑利用错位相减求和即可

解答：解：（1）当n≥2且n∈N^*时，点（S_n-1，S_n）在直线y=2x+

1

2

上，
∴2S_n=4S_n-1+1①
∴2Sn+1=4Sn+1(n∈N*)②
由②-①得：an+1=2an⇒

an+1

an

=2(n≥2，n∈N*)（2分）
由2S₂=4S₁+1得2（a₁+a₂）=4a₁+1，又a1=

1

2

，
∴a₂=1，∴

a2

a1

=2，（4分）
∴数列{a_n}是以

1

2

为首项，2为公比的等比数列．
∴an=2n-2（6分）
（2）∵bn=log

1

2

an=log

1

2

2n-2=2-n
∴

bn

an

=

2-n

2n-2

（8分）
∴Tn=

1

1 2

+

0

1

+

-1

2

+…+

3-n

2n-3

+

2-n

2n-2

③

1

2

Tn=

1

1

+

0

2

+

-1

22

+…+

3-n

2n-2

+

2-n

2n-1

④（10分）
由③-④得：

1

2

Tn=2-

1

1

-

1

2

-

1

22

-…-

1

2n-2

-

2-n

2n-1

=

1

2n-2

-

2-n

2n-1

，
∴Tn=

2n

2n-1

=n•22-n．（12分）

点评：本题主要考查了数列的递推公式an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

在数列的通项公式的求解中的应用，及数列求和的错位相减求和方法的应用，要注意该方法适用的范围：若数列{a_nb_n}中，a_n，b_n分别为等差、等比数列